Μαθηματικά: το εμπορικό τρίγωνο της μαθηματικής εκπαίδευσης

 Πρώτη ανάρτηση το 2007

Συνέβη φέτος (2007) κάτι εξαιρετικά ενδιαφέρον. Αν συνέβαινε σε μια συγγραφική ομάδα, θα το απέδιδα σε αβλεψία, αν συνέβαινε σε δύο ομάδες θα άρχιζα να ανησυχώ, αλλά το να συμβεί σε επτά (7) συγγραφικές ομάδες (πιθανότατα δηλαδή σε όλες) πάει πολύ.  Χώρια που άρχισε να περνάει απαρατήρητο  από δασκάλους και γονείς και τελικά από τους μαθητές. Αναφέρω περί τίνος πρόκειται και συγχωρήστε με για τη φλυαρία. Είναι που δεν έχω χρόνο να τα γράψω συντομότερα.

Στο νέο βιβλίο των Μαθηματικών της Α΄ Γυμνασίου, στη σελίδα 162, οι συγγραφείς προτείνουν στους μαθητές (αλλά και στους μαθηματικούς τους, τους γονείς τους και τους φροντιστές τους) το παρακάτω πρόβλημα:

«Το εμπορικό τρίγωνο της Αθήνας περικλείεται από τις οδούς Ιπποκράτους, μήκους 619 m, Κλεισθένους, μήκους 271 m και Περικλέους, μήκους 205 m. Πόσα βήματα θα κάνει ένας πεζός που κινείται περιμετρικά στο εμπορικό τρίγωνο, αν το κάθε του βήμα είναι 75 cm;»

(Βανδουλάκης Ι., Καλλιγάς Χ., Μαρκάκης Ν., Φερντίνος Σ., (2007). Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου. Αθήνα: ΟΕΔΒ. Σελίδα 162/.)

Είναι το πρόβλημα αριθμός 4 σε ένα σύνολο δώδεκα ασκήσεων και προβλημάτων. Στις σελίδες 157, 158, 159, 160 και 161 που προηγούνται, προκειμένου να γίνουν κατανοητές από τους μαθητές οι έννοιες της μέτρησης, της σύγκρισης και ισότητας ευθυγράμμων τμημάτων, της απόστασης σημείων και του μέσου ευθύγραμμου τμήματος παρουσιάστηκαν

• ιστορική αναδρομή των θεμάτων, έκτασης μίας και μισής σελίδας,
• η μέτρηση και οι μονάδες μέτρησης, η απόσταση δύο σημείων και το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος, σε δύο περίπου σελίδες,
• παραδείγματα και εφαρμογές, σε δύο περίπου σελίδες.

Η ανάλυση της παραγράφου αυτής θα αναδείκνυε όλα τα προβλήματα του βιβλίου αλλά δεν είναι αυτό που θέλω εδώ. Απλά θα αναφέρω και κάποια στιγμή θα γίνω αναλυτικός, ότι στις έξι αυτές σελίδες υπάρχουν μόνο δύο ερωτήσεις (στις ασκήσεις και στα προβλήματα) και δεν υπάρχει, όπως θα έπρεπε σύμφωνα με το πρόγραμμα σπουδών αλλά και τις σύγχρονες θεωρίες μάθησης, ούτε μία δραστηριότητα (προβληματική-διδακτική κατάσταση τη λένε οι ειδικοί) πάνω στην οποία οι μαθητές θα εργαστούν, μόνοι ή σε ομάδες, για να προκύψει, με διδακτική μαστοριά και λελογισμένο ρίσκο, αλλά και εξασφαλισμένα τα κίνητρα για μάθηση, η νέα γνώση.

Στη σελίδα 242 διαβάζουμε τη «λύση» που προτείνουν οι συγγραφείς:

«4. 109.500 m. Ο πεζός θα κάνει: 1460 βήματα.»

Δεν θα μαλώσω κανέναν για το «τυπογραφικό» λάθος, δηλαδή τα 109.500 m αντί για τα 109.500 cm που είναι το σωστό ή τέλος πάντων τα 1.095 m. Ούτε θα τον μαλώσω που δεν παρουσιάζει τη λύση «ανοιγμένη». Εξάλλου, πώς αλλιώς θα δουλέψουν και τα βοηθήματα;

Πράγματι, τα βοηθήματα δίνουν πιο «αναλυτικές» λύσεις. Ανάτρεξα λοιπόν σε επτά από αυτά, ενδεχομένως σε όλα όσα κυκλοφορούν. Συμφωνούν όλα, μα όλα, στη λύση που είναι πανομοιότυπη. Θα γίνω κουραστικός αλλά, για την τεκμηρίωση του πράγματος, αναφέρω εξαντλητικά τη λύση, όπως αυτή εμφανίζεται και στα επτά βοηθήματα:

1. «Η περίμετρος του εμπορικού τριγώνου είναι 619 + 271 + 205 = 1.095 m.

Για να βρούμε πόσα βήματα θα κάνει ένας πεζός με βήμα 75 cm = 0,75 m, κάνουμε διαίρεση.

Είναι: 1.095 : 0,75 = 1.460 βήματα.»

(Μιχαηλίδης Τ. και Σκιαδάς Α. (2007). Μαθηματικά. Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα. Σελίδα 183. Λιανική τιμή β΄ τεύχους 14.80€.))

2. «Η περίμετρος του τριγώνου είναι:

619+271+205=1.095m ή

1.095.100=109.500cm

Συμπεραίνουμε λοιπόν, ότι ο πεζός θα κάνει:

109.500:75=1.460 βήματα»

(Μαραγούσιας Γ. (2007). Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου. Αθήνα: Εκδόσεις Σαββάλας. Σελίδα 673/695. Λιανική τιμή 19.70€.)

3. «619 + 271 + 205 = 1.095 m. 1.095:0,75 = 1.460 βήματα.»

(Πρωτοπαπάς Ε. (2007). Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου. Αθήνα: Εκδόσεις Πατάκη. Σελίδα 47/75 του ένθετου. Σελίδες βιβλίου 389. Λιανική τιμή 14.80€.)

4. «Η περίμετρος του τριγώνου είναι:

619+271+205=1.095m ή

1.095m.100=109.500cm

Συμπεραίνουμε λοιπόν, ότι ο πεζός θα κάνει:

109.500:75=1.460 βήματα»

(Παπαδάκης Β., (2007). Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου. Αθήνα: Εκδόσεις Σαββάλας. Σελίδα 436/458. Λιανική τιμή β΄ τεύχους 14.70€.)

5. «Η περίμετρος του τριγώνου είναι:

619+271+205=1.095m ή 1.095.100cm=109.500cm

Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ο πεζός θα κάνει:

109.500:75=1.460 βήματα»

(Αντωνοπούλου Ε. και Λυκοτραφίτη Α. (επιμέλεια), (2007). Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου: Λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου. Αθήνα: Εκδόσεις Σαββάλας. Σελίδα 235/317. Λιανική τιμή β΄ τεύχους 12.70€.)

6. «Η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο πεζός είναι:

619 + 271 + 205 = 1.095 m

Εφόσον το κάθε βήμα του είναι 75 cm = 0,75 m,

θα κάνει 1.095 m : 0,75 m = 1.460 βήματα.»

(Ρεκούμης Κ. και Σφακιανούδη Κ. (2007). Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου. Αθήνα: Εκδόσεις Μεταίχμιο. Σελίδα 336/483. Λιανική τιμή 17.50€.)

7. «Ο πεζός θα κάνει απόσταση μήκους 619 + 271 + 205 = 1.095 m ή 109.500 cm και τα βήματά του θα είναι 109.500 : 75 = 1.460.»

(Τζιρώνης Κ. και Τζουβάρας Θ. (2007). Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου. Αθήνα: Εκδόσεις Πατάκη. Σελίδες 486. Η λύση στη σελίδα 57/84 του ένθετου. Λιανική τιμή 22€.)

Ψάχνω να βρω, στη συνέχεια, αν οι δρόμοι που αναφέρονται στο πρόβλημα υπάρχουν στην πραγματικότητα. Ναι, υπάρχουν. Ψάχνω να βρω αν συναντιόνται και αν πράγματι σχηματίζουν τρίγωνο. Όχι, δεν τέμνονται και δεν σχηματίζουν το εμπορικό τρίγωνο της Αθήνας, όπως ισχυρίζονται οι συγγραφείς. Προφανώς το πρόβλημα δεν δημιουργήθηκε με βάση πραγματικά στοιχεία, αλλά είναι μυθοπλασία των συγγραφέων. Εντάξει. Ούτε και για αυτό θα τους πάρουμε το κεφάλι, παρά τη δεδομένη χρησιμότητα τού να έχουν τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται στα σχολικά προβλήματα σχέση με την πραγματική ζωή. Εξάλλου ένας αλάνθαστος δρόμος για δημιουργία κατάλληλων για διδασκαλία προβλημάτων είναι να αντιγράφουμε την πραγματικότητα.

Η περιπλάνησή μου όμως έχει κάποια παράπλευρα κέρδη. Για παράδειγμα, σε σελίδα του διαδικτύου, όπου ανάτρεξα να μάθω, εγώ ο επαρχιώτης, για το Εμπορικό Τρίγωνο των Αθηνών, διαβάζω και μαθαίνω ότι:

«Το Εμπορικό Τρίγωνο Αθηνών είναι η περιφέρεια του κέντρου της ελληνικής πρωτευούσης που περικλείεται από τις οδούς Σταδίου, Αθηνάς και Μητροπόλεως, ενώ οι γωνίες του Τριγώνου αντιστοιχούν στις πλατείες Συντάγματος, Ομονοίας και Μοναστηρακίου.

(Ο χάρτης όπως τον επεξεργάστηκα)

Παρόλο που τα ελληνικά του συντάκτη δεν είναι του γούστου μου, διαπιστώνω ότι υπάρχει υλικό για διαθεματική προσέγγιση του προβλήματος: προσφέρεται αξιόπιστος ηλεκτρονικός χάρτης, αφού μπορεί η ακρίβειά του να ελεγχθεί μέσω δορυφόρου! Γράφει σχετικά στη συνέχεια:

«Ο παρακάτω χάρτης είναι δυναμικός. Μπορείτε να επικεντρώσετε στο σημείο που σας ενδιαφέρει κάνοντας διπλό κλικ πάνω του και πιέζοντας τα σύμβολα (+) και (-) πάνω αριστερά να εστιάσετε σε αυτό για να έχετε πιο ακριβή άποψη. Πιέζοντας στο κουμπί Satellite πάνω δεξιά, μπορείτε να έχετε την άποψη του σημείου που επιλέξατε από δορυφόρο.»

Αλλά δεν υπάρχει αυτή η πολυτέλεια στο Ελληνικό Σχολείο, δηλαδή τα Μαθηματικά (ή όποιο άλλο μάθημα) να γίνονται σε αίθουσα με συνδεδεμένους στο διαδίκτυο υπολογιστές. Η έρευνά μου κατάληξε τελικά σε χάρτη (υπάρχει στο τέλος του κειμένου), όπου μπορείτε να δείτε την ακρίβεια όσων ισχυρίζομαι (οι κόκκινοι κύκλοι και οι κόκκινες γραμμές δικές μου για βοήθεια).

Παρόλα αυτά, την επόμενη φορά που θα κατέβω στην Αθήνα θα «τσεκάρω» και βιωματικά το τρίγωνο, μήπως η έρευνα γραφείου δεν απέδωσε την πραγματικότητα. (Το έπραξα αργότερα. Τα πράγματα έχουν όπως ακριβώς τα περιγράφω.)

Επανέρχομαι όμως στο «πρόβλημα». Η δεύτερη σελίδα του βιβλίου μάς λέει πολλά. Τα αναφέρω συνοπτικά.

Οι τέσσερις συγγραφείς, όλοι μαθηματικοί, δεν διαπίστωσαν τίποτε. Σίγουρα ένας από αυτούς εισηγήθηκε το «πρόβλημα», ενδεχομένως το «έλυσε» κιόλας και το πρότεινε στους άλλους τρεις που με τη σειρά τους το έλεγξαν και συμφώνησαν για την καταλληλότητά του.

Οι τρεις κριτές-αξιολογητές έκριναν το όλο έργο, άρα και το «πρόβλημα», και δεν εντόπισαν τίποτε το μεμπτό.

Δεν μπορούμε φυσικά να ζητήσουμε ευθύνες για το «πρόβλημα» από τη φιλόλογο που έκανε τη φιλολογική επιμέλεια.

Μάλλον ούτε από τον υπεύθυνο του μαθήματος και του υποέργου κατά τη συγγραφή, σύμβουλο του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου (Π.Ι.). Σίγουρα αθώα είναι η κυρία που εγκατέλειψε το έργο νωρίς, έλαβε μέρος στη συγγραφή μόνο του πρώτου μέρους (1/3) του βιβλίου.

Οι μόνοι που φαίνεται θα βοηθούσαν πολύ και αποφασιστικά στην επίλυση του «προβλήματος» είναι οι συνεργάτες της εικονογράφησης του βιβλίου, δύο κυρίες, μία ζωγράφος και μία γραφίστρια, αλλά δεν τους ζητήθηκε η συνδρομή τους για την εικαστική αναπαράστασή του. Κρίμα! Ίσως τότε να μην έγραφα την επιστολή αυτή και να ήταν όλα μέλι γάλα στη μαθηματική εκπαίδευση.

Όμως στην ίδια σελίδα, σε πλαίσιο, καταγράφονται και τα μεγάλα κεφάλια του εγχειρήματος: ο πρόεδρος του Π.Ι., ομότιμος καθηγητής, ο επιστημονικός υπεύθυνος έργου, σύμβουλος του Π.Ι. και οι δύο αναπληρωτές υπεύθυνοι έργου, ο ένας σύμβουλος και ο άλλος πάρεδρος του Π.Ι. Φυσικά δεν είναι δουλειά τους να ασχοληθούν με το εμπορικό τρίγωνο.

Μαθαίνουμε, επίσης, ότι πρόκειται για έργο που υλοποιήθηκε με χρήματα του Ευρωπαϊκού Κοινοτικού Ταμείου (75%) και Ελληνικού Κράτους (25%). Τίτλος του γενικότερου έργου στο οποίο εντάσσεται και η συγγραφή του βιβλίου Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου: Αναμόρφωση των προγραμμάτων σπουδών και συγγραφή νέων εκπαιδευτικών πακέτων.

Τέλος, οι προεκτυπωτικές εργασίες έγιναν από τις εκδόσεις Πατάκη, οι οποίες φαντάζομαι εμπιστεύτηκαν απόλυτα τους συγγραφείς.

Συμπέρασμα: για να έχουν τελικά οι μαθητές της Α΄ Γυμνασίου έγκαιρα στα χέρια τους το εμπορικό τρίγωνο της Αθήνας συνεργάστηκαν πολλοί αξιόλογοι άνθρωποι, όλοι επιτυχημένοι στον τομέα τους!

Ως πατέρας μιας μαθήτριας Α΄ Γυμνασίου που αντιμετώπισε το συγκεκριμένο πρόβλημα ίσως το περνούσα «ντούκου». Τόσα και τόσα είδαν τα μάτια μου βοηθώντας τα τρία παιδιά μου στα μαθήματά τους. Εδώ θα κολλήσουμε τώρα. Αλλά ως ένας από τους υποψήφιους συγγραφείς για το βιβλίο αυτό, πριν από λίγα χρόνια, αρχίζω να αμφιβάλλω για την αποτελεσματικότητα της αξιολόγησης των προτάσεων που υποβάλαμε τότε. Επίσης, αγανακτώ στη σκέψη ότι πριν από αυτήν την προσπάθεια είχαμε επιτύχει στο διαγωνισμό συγγραφής του «τριπλού βιβλίου» μαθηματικών της Α΄ Γυμνασίου, το παραδώσαμε σε φιλμς, αλλά δεν τυπώθηκε ποτέ! Το ότι το πληρωθήκαμε δεν αμβλύνει, αλλά οξύνει το θυμό μου, αφού η ΕΕ και το Ελληνικό Κράτος πλήρωσαν για κάτι που πήγε στο συρτάρι. Τα πράγματα όμως είναι ακόμη χειρότερα. Στείλαμε, οι συγγραφείς, επιστολή προς το Π.Ι. ζητώντας να προσαρμόσουμε δωρεάν το βιβλίο στο νέο πρόγραμμα σπουδών αλλά μας το αρνήθηκαν! Λεπτομέρεια σημαντική: το νέο πρόγραμμα δεν ήταν τίποτε άλλο παρά κείμενο που προέκυψε από τη μελέτη και των δικών μας προτάσεων σε συνέδρια της Μαθηματικής Εταιρίας και αλλού.

Μετά από όλα αυτά, έρχονται όλοι οι συντελεστές των βοηθημάτων (συγγραφείς, επιμελητές, διορθωτές, σύμβουλοι έκδοσης), πάρα πολλοί και αξιόλογοι άνθρωποι, και αναπαράγουν το «πρόβλημα» και τη «λύση» του. Ούτε ένας, μα ούτε ένας, δεν είδε το λάθος που υπήρχε στο «πρόβλημα»! Δεν λειτούργησαν σωστά τα μαθηματικά αντανακλαστικά κανενός! Και δεν πρόκειται για τίποτε δύσκολο, περιθωριακό, εξεζητημένο, προχωρημένο ζήτημα ανώτερων Μαθηματικών. Δεν είδαν απλά ότι δεν μπορεί να υπάρξει τρίγωνο με πλευρές 619, 271 και 205 m γιατί οι τιμές αυτές δεν ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα!!! Με απλά λόγια, για τον αμύητο αναγνώστη, σε ένα τρίγωνο το άθροισμα των δύο πλευρών είναι μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά, όποια κι αν είναι η επιλογή των δύο πρώτων πλευρών. Πιθανότατα, θα υποθέσει κάποιος, σε κανέναν δεν ήταν αυτόματο, αυτονόητο ή αναγκαίο το πέρασμα από την αλγεβρική γλώσσα, στην οποία δόθηκε με λόγια το «πρόβλημα», στη γεωμετρική γλώσσα. Σε πειραματισμό που έκανα σε κοινό καθηγητών φυσικής την περασμένη εβδομάδα στη Θεσσαλονίκη το διαπίστωσα: κανένας δεν διαπίστωσε το ανέφικτο των δεδομένων του «προβλήματος»! Το ίδιο αποτέλεσμα είχε ο πειραματισμός μου με σπουδαστές της ΑΣΠΑΙΤΕ στη Θεσσαλονίκη.

Με πιάνει νευρικό γέλιο. Μήπως είμαστε τελικά όλοι (όσοι ασχολούμαστε με τα διδακτικά βιβλία μαθηματικών) μια ωραία ατμόσφαιρα; Μετά αναρωτιέμαι τι συμβαίνει. Μήπως εγώ το μεγαλοποιώ, δεν είναι παρά ένα λαθάκι που κατά σύμπτωση το έκαναν όλοι ταυτόχρονα, σα να το αντέγραψε ο ένας από τον άλλο σε μια κρίση αμοιβαίας εμπιστοσύνης χωρίς προηγούμενο; Μήπως τα χειρότερα πράγματα δεν συμβαίνουν και στις «καλύτερες» οικογένειες. Μετά μου έρχονται χειρότερες σκέψεις. Ξέχασαν μήπως ξαφνικά όλοι τα μαθηματικά που ήξεραν; Δεν έμαθαν μήπως ποτέ καλά μαθηματικά; Μήπως θεωρούν ότι η συγγραφή ενός βιβλίου βασικών μαθηματικών εννοιών δεν απαιτεί εγρήγορση, παρατηρητικότητα, σοβαρότητα, αλλά πιστεύουν ότι είναι μια δουλειά «φασόν»; Μήπως το χρονοδιάγραμμα συγγραφής είναι ασφυκτικό, δεν επαρκεί για όλους τους ελέγχους που χρειάζονται. Μήπως θα έπρεπε κάθε βιβλίο, πριν χρησιμοποιηθεί μαζικά από όλους τους μαθητές, να εφαρμόζονταν δοκιμαστικά στα πειραματικά σχολεία (να δικαιο-λογήσουν και την ύπαρξή τους δηλαδή); Εκεί ενδεχομένως θα διαπιστώνονταν λάθη και αδυναμίες και θα διορθώνονταν. Μήπως, τελικά, άλλο είναι να είναι κάποιος καλός μαθηματικός και άλλο καλός συγγραφέας βιβλίων μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου; Μήπως τα κριτήρια επιλογής των συγγραφέων έχουν πρόβλημα; Μήπως υπάρχει πρόβλημα (και) με τους αξιολογητές των συγγραφικών ομάδων; Μήπως το όλο σύστημα «μπάζει» από παντού; Τελικά, τι σημαίνει στη χώρα μας «κάνω σχολικά μαθηματικά» ή «διδάσκω σχολικά μαθηματικά»;

Για όλα τα παραπάνω έχω μιαν απάντηση, η ουσία της οποίας βρίσκεται «κρυμμένη» στον τίτλο της επιστολής μου. Καλώ όμως πρώτα όλους όσοι συμμετέχουν σε αυτό το παιχνίδι (εις βάρος των παιδιών μας, του εθνικού προϋπολογισμού και των οικογενειών μας τελικά) να δώσουν αυτοί μιαν πειστική εξήγηση πώς την έπαθαν έτσι. Θα έχει σίγουρα μεγάλο ενδιαφέρον. Αλλιώς (δεν είναι απειλή) θα επανέλθω. Με αφορμή την παρατήρησή μου, ας γίνει επιτέλους μια συζήτηση ουσίας για τη συγγραφή των διδακτικών βιβλίων με όλη την άνεση και ψυχραιμία που απαιτεί μια τέτοια συζήτηση. Κι ας συμμετέχουν σε αυτήν και όλοι οι διδακτικοί των μαθηματικών, ο λόγος των οποίων έχει βαρύνουσα σημασία στην περίπτωσή μας.

ΥΓ1. Θα προσέξατε ότι στις αναφορές μου στα βιβλία παραθέτω το σύνολο των σελίδων κάθε βιβλίου καθώς και τις τιμές τους στην αγορά, τουλάχιστον αυτές που εγώ συνάντησα στο βιβλιοπωλείο. Σκεφτείτε τον κόπο συγγραφής τους, σκεφτείτε το άγχος τόσων ανθρώπων να προλάβουν τις προθεσμίες, σκεφτείτε το χαρτί. Πάνω από όλα σκεφτείτε τους εκπαιδευτικούς που χρησιμοποιούν και αυτοί βοηθήματα, ιδίως όταν τα επίσημα βιβλία είναι κακογραμμένα και οι ίδιοι απροετοίμαστοι να τα διδάξουν. Σκεφτείτε τους μαθητές και τους γονείς τους που θα επιλέξουν το καλύτερο (πώς άραγε;) και θα ξεμπερδέψουν με την «παραπαιδεία» πληρώνοντας μόνο 20 περίπου ευρώ ανά μάθημα ή θα χάσουν την ψυχραιμία τους, θα τα αγοράσουν όλα (100€) και θα χαθούν στη μετάφραση. Ή θα καταφύγουν τελικά στο φροντιστήριο (πολλά περισσότερα τα ευρώ) που έχει ετοιμαστεί κατάλληλα (επαγγελματίες γαρ) για να αντιμετωπίσει τα πάντα. Αλήθεια, στα φροντιστήρια πώς άραγε έλυσαν το πρόβλημα του εμπορικού τριγώνου;

ΥΓ2. Μια προχωρημένη ιδέα. Μια εφημερίδα να μαζέψει τα «ανέκδοτα» «τριπλά» βιβλία εποχής Αρσένη σε ένα CD και να τα μοιράσει στο αναγνωστικό κοινό. Γιατί η πνευματική δημιουργία δεν πρέπει να κλείνεται σε συρτάρια, ιδίως όταν απευθύνεται στις νέες γενιές, και γιατί θα είχαν όλοι ένα καλύτερο μέτρο αξιολόγησης των σημερινών βιβλίων. Και, τέλος, γιατί τα βιβλία αυτά δεν έχασαν τη φρεσκάδα τους, παρά το γεγονός ότι τότε στο εμπορικό κέντρο της Αθήνας, όπως και στα βιβλία, κυκλοφορούσαν οι δραχμούλες μας. Υπάρχει στα χέρια μου σε ψηφιακή μορφή (pdf) και μπορεί να το αποκτήσει δωρεάν όποιος το ζητήσει, αλλά και στο διαδίκτυο (πατήστε εδώ!). Υπάρχει ακόμη η λύση να «κρεμαστούν» στο Διαδίκτυο από το Υπουργείο το ίδιο!

Χάρτης εμπορικού τριγώνου της Αθήνας που περικλείεται από τις οδούς Ερμού ή Μητροπόλεως, Αθηνάς και Σταδίου.

(Πηγή: http://www.athensguide.com/map/athens.htm, δωρεάν στο διαδίκτυο)

Στο διαδίκτυο βρίσκουμε το κείμενο www.netsuccess.gr/…/2081-1.3%20GYMNASIO.doc, στο οποίο -στη δεύτερη σελίδα- παρουσιάζει τη «λύση».

Το αποκορύφωμα έρχεται… δύο χρόνια μετά (2008)! Το Υπουργείο έρχεται με έγγραφό του να διορθώσει αστοχίες/λάθη των βιβλίων Μαθηματικών του Γυμνασίου. Και τι κάνει; Διαβάστε:

… και διορθώνει έτσι το βιβλίο! Χάνεται η Αθήνα και τη θέση της παίρνει μια πόλη φανταστική, αλλά δεν χάνεται το ανύπαρκτο τρίγωνο. Σωστά το σκέφτεστε… Μπορεί να χαθεί το ανύπαρκτο;!

Μαθαίνω ότι τελικά, τελευταία, σε νέα έκδοση παροραμάτων διορθώθηκε, το πρόβλημα και άλλαξε ένα μήκος (νομίζω πως η Ιπποκράτους μάζεψε σε 319 μέτρα), ώστε να υπάρχει το φανταστικό τρίγωνο (τουλάχιστον αυτό).

Η έκφραση των νέων «Δεν υπάρχει!» ταιριάζει γάντι στην περίπτωσή μας.